Zwardoń


liceum, matematyka, kinematyka,

Zadanie

Ze Zwardonia do odległej o $15$ km Milówki wyruszył pieszo turysta. Godzinę później, z Milówki do Zwardonia wyjechał samochód, który minął turystę po $15$ minutach jazdy. Po półgodzinnym postoju w Zwardoniu, kierowca ruszył w drogę powrotną. Po raz kolejny minął turystę zmierzającego do Milówki po $50$ minutach od ich ostatniego spotkania. Oblicz, ile czasu zajęła turyście droga ze Zwardonia do Milówki. Przyjmij, że turysta przeszedł całą drogę ze stałym tempem, a kierowca jechał w obie strony ze stałą prędkością.

Rozwiązanie

Niech położenie turysty od czasu - $\tau(t)$, położenie samochodu od czasu - $s(t)$. W oznaczeniach takich jak na rysunku, można przedstawić te funkcje następująco $$ \begin{align*} \tau(t) &= v_{\tau} t \cr s(t) &= \begin{cases}M - v_s(t-t_0) & t < T \cr 0 & t\in [T, T + t_{p_s}] \cr v_s(t-t_1) & t > T + t_{p_s}.\end{cases} \end{align*} $$ Z treści zadania wynika, że nastąpiły dwa spotkania samochodu i turysty. Znamy ich położenia w czasie - odpowiednio $t_{p_1} = 60 + 15$ min oraz $t_{p_2} = 60 + 15 + 50$ min. Jako, że podczas spotkania i turysta i samochód zajmują to samo położenie w przestrzeni, można zapisać $$\begin{align*} x_{p_1} &= v_\tau t_{p_1} = M - v_s(t_{p_1} - t_0), \cr x_{p_2} &= v_\tau t_{p_2} = v_s(t_{p_2} - t_1). \end{align*}$$ Poza tym, można zapisać związek między prędkością samochodu a czasem pomiędzy spotkaniami: $$\frac{x_{p_1}}{v_s} + t_{p_s} + \frac{x_{p_2}}{v_s} = t_{p_2} - t_{p_1}.$$ Po odrzuceniu równości zawierającej wyraz $v_s t_1$, otrzymujemy układ czterech równań na cztery niewiadome ($x_{p_1}, x_{p_2},v_\tau, v_s$). Można zapisać go na przykład w postaci równania macierzowego $$\begin{bmatrix}x_{p_1}\cr x_{p_2}\cr v_s\cr v_\tau\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1&t_{p_1} + t_{p_s} - t_{p_2}& 0\cr 1&0&t_{p_1} - t_0& 0\cr 0&1&0&-t_{p_2}\cr 1&0&0&-t_{p_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\cr M\cr 0\cr 0\end{bmatrix}.$$ Jeżeli odwrócimy tę macierz, dostaniemy bardzo łatwo wszystkie niewiadome. Naszym zadaniem jest obliczenie czasu potrzebnego turyście do przejścia drogi między Zwardoniem i Milówką. Jest to po prostu $t = M/v_\tau$. Macierz odwrócimy metodą dopełnień algebraicznych, czyli za pomocą zależności między macierzą odwrotną ($A^{-1}$), macierzą dołączoną ($A^D$) i wyznacznikiem macierzy ($\det A$), $$A^{-1} = \frac{A^D}{\det A}.$$ Macierz dołączona jest po prostu transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych. Wyznacznik obliczymy korzystając z rozwinięcia Laplace’a. Rozwiniemy wokół czwartego wiersza. $$\begin{align*} \det A &= (-1)^{4+1} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 1&t_{p_1} + t_{p_s} - t_{p_2}&0\cr 0&t_{p_1} - t_0&0\cr 1&0&-t_{p_2} \end{vmatrix} + (-1)^{4+4} \cdot (-t_{p_1}) \begin{vmatrix} 1&1&t_{p_1}+t_{p_s} - t_{p_2}\cr 1&0&t_{p_1} - t_0\cr 0&1&0 \end{vmatrix} = \cr &= (-1)(-t_{p_2})(t_{p_1} - t_0) + (-t_{p_1})(t_0 - t_{p_1}) - t_{p_1}(t_{p_1} + t_{p_s} - t_{p_2}) = \cr &= -t_0(t_{p_1} + t_{p_2}) + t_{p_1}(2t_{p_2} - t_{p_s}). \end{align*}$$ Po wstawieniu do wzoru dostaniemy wektor $$\begin{bmatrix} x_{p_1} \cr x_{p_2} \cr v_s \cr v_\tau \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{M t_{p_1} (t_{p_1} - t_{p_2} + t_{p_s})}{-t_0 t_{p_1} - t_0 t_{p_2} + 2 t_{p_1} t_{p_2} - t_{p_1} t_{p_s}} \cr \frac{M t_{p_2} (-t_{p_1} + t_{p_2} - t_{p_s})}{-t_0 t_{p_1} - t_0 t_{p_2} + 2 t_{p_1} t_{p_2} - t_{p_1} t_{p_s}}\cr -\frac{M(t_{p_1} + t_{p_2})}{t_0 t_{p_1} + t_0 t_{p_2} - 2 t_{p_1} t_{p_2} + t_{p_1} t_{p_s}}\cr -\frac{M(t_{p_1} - t_{p_2} + t_{p_s})}{t_0 t_{p_1} + t_0 t_{p_2} - 2 t_{p_1} t_{p_2}+t_{p_1}t_{p_s}} \end{bmatrix}.$$ Możemy podstawić liczby z zadania, dostaniemy $$\begin{bmatrix} x_{p_1} \cr x_{p_2} \cr v_s \cr v_\tau \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\cr \frac{25}{3}\cr \frac{2}{3}\cr \frac{1}{15} \end{bmatrix} $$ Jednostki prędkości tutaj mamy w $\frac{\text{km}}{\text{min}}$, więc ostatecznie, czas podróży turysty wynosi $$t = \frac{M}{v_\tau} = 225 \text{minut} = 3 \text{h }45 \text{minut}.$$

comments powered by Disqus
Do góry