Jak łatwo przesunąć statek


fizyka, liceum, pęd, kinematyka,

Na jakie pytania chcielibyśmy odpowiedzieć?

  1. Dlaczego, gdy schodzimy z roweru wodnego (na przykład wchodząc na brzeg lub skacząc do wody), zaczyna on od nas uciekać?
  2. Czy jesteśmy w stanie przyspieszyć rejs statkiem bez jakiejkolwiek znajomości obsługi statku?

Problem

Często pojawiające się w różnych podręcznikach zadanie z zasady zachowania pędu brzmi następująco:

O ile przesunie się łódka, jeżeli człowiek najpierw stojący przy jednym jej brzegu przejdzie na brzeg przeciwny?

Rozwiązanie wymaga przyrównania środków masy układu człowiek-łódka przed i po przejściu na przeciwny brzeg łódki; argumentuje się wtedy zazwyczaj, że ten warunek wynika z zasady zachowania pędu… Ale w jaki dokładnie sposób?

Można zadać jeszcze ważniejsze z punktu widzenia fizyki pytanie:

Plan podboju kosmosu:

Spróbujemy wyjść z Zasady zachowania pędu i w jakiś sposób dojść do sensownych warunków, których rozwiązanie da nam odpowiedzi na nurtujące nas pytania.

Ale najpierw

Kiedy w ogóle możemy skorzystać z zasady zachowania pędu?

Spójrzmy na drugą zasadę dynamiki Newtona: $$F_{\text{zewnętrzne}}(t) = m_i \cdot a_i(t).$$ Przyjmijmy oznaczenia $P(t) = \sum_i p_i(t)= \sum_i m_iv_i(t)$ - pęd układu ($\sum$ oznacza sumę po wszystkich działających indeksach $i$. W późniejszych rozważaniach postaram się sumiennie zapominać o jej zapisywaniu).

Jeżeli założymy, że masa całego układu się nie zmienia, możemy napisać $$F_{\text{zewnętrzne}} = \frac{d}{dt}P(t) = m_i \frac{d}{dt}v_i(t) = m_i a_i(t).$$ Teraz przypomnijmy sobie co to znaczy, że pęd jest zachowany. Powiedzmy, że pęd jest zachowany na przedziale czasu $\mathbb{T} \equiv ]t_p, t_k[$. Niech $t_1, t_2\in \mathbb{T}$ - jakieś punkty w czasie. Wtedy możemy powiedzieć, że $$\text{zachowany pęd} \iff p_i(t_2) - p_i(t_1) = 0 \implies p_i(t_2) = p_i(t_1),$$ czyli na przedziale otwartym $\mathbb{T}$, na którym pęd miał być zachowany, jego zmiana jest równa zero.

Teraz rozważmy $t\in \mathbb{T}$. Skoro przedział $\mathbb{T}$ jest otwarty, zawsze możemy wybrać sobie jakieś małe $\Delta t$, takie że $t + \Delta t$ wciąż będzie należało do $\mathbb{T}$. Druga zasada dynamiki przyjmuje postać $$F_\text{zewnętrzne} = m_i \frac{d}{dt} v_i(t) = m_i \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t}\left( v_i(t+\Delta t) - v_i(t)\right),$$ ale przecież $t$ oraz $t+\Delta t$ należą do $\mathbb{T}$! Czyli ich różnica musi być równa zero, bo mamy zachowany pęd!

Otrzymujemy więc warunek $$\underset{t\in\mathbb{T}}{\forall}\quad F_\text{zewnętrzne}(t) \equiv 0,$$ gdzie znaczek “odwrócone A” oznacza “dla każdego”.

Wiemy więc, że stwierdzenie, że pęd jest zachowany oznacza tyle samo, co stwierdzenie, że na układ nie działają żadne siły zewnętrzne.

Weźmy się do pracy

Cały układ łódka-człowiek porusza się ze stałą prędkością (w tym też równą zero).

Tak jak wcześniej ustalmy sobie przedział otwarty $\mathbb{T} = ]t_p, t_k[$, w którym pęd układu ma być zachowany. Jeżeli weźmiemy sobie teraz punkt $t_1\in\mathbb{T}$, możemy bez ogródek napisać warunek na zasadę zachowania pędu układu: $$\underset{t\in\mathbb{T}}{\forall}P(t) = P(t_1) \implies \underset{t\in\mathbb{T}}{\forall}p_i(t) = p_i(t_1) \implies \underset{t\in\mathbb{T}}{\forall}m_i v_i(t) = m_i v_i(t_1).$$ Skoro oba punkty czasu należą do $\mathbb{T}$, który jest przedziałem otwartym, to zawsze można znaleźć takie $\Delta t$, żeby $t + \Delta t$ również należał do $\mathbb{T}$. Przepiszmy więc powyższy warunek zamieniając $v_i$ na pochodną położeń $\frac{d}{dt}r_i$ $$m_i \lim_{\Delta t\to 0}\frac{r_i(t+\Delta t) - r_i(t)}{\Delta t} = m_i v_i(t_1).$$ Załóżmy teraz na przykład, że ustalamy taki inercjalny układ odniesienia, w którym łódka się nie porusza. W związku z tym mamy $p_i(t_1) = 0 \implies v_i(t_1) = 0.$ Dostajemy nieco uproszczoną wersję $$m_i \lim_{\Delta t\to 0} \frac{1}{\Delta t} \left(r_i(t+\Delta t) - r_i(t)\right) = m_i \frac{d}{dt}r_i(t) = 0,$$ lecz wciąż coś tu nie gra… Skorzystajmy z Twierdzenia Stokes’a dla jednego wymiaru (zasadnicze twierdzenie rachunku różniczkowego). $$m_i \int_{t_1}^{t_c} \frac{d r_i}{dk}(k)dk = m_i\left(r_i(t_c) - r_i(t_1)\right) = 0,$$ czyli ostatecznie $$m_i r_i(t_c) = m_i r_i(t_1).$$ Jest to warunek równoważny braku przesunięcia środka masy układu (przy założeniu stałej masy), czyli $$r_{c_1} = \frac{m_i r_i(t_c)}{m_i} = r_{c_2} = \frac{m_i r_i(t_1)}{m_i}.$$

A co, jeżeli łódka poruszała się ze stałą prędkością, która akurat nie wynosiła zero? Rozwiązanie można otrzymać najprościej chyba powołując się na zasadę względności Galileusza. Za pomocą transformacji $x_G = x + V t$, gdzie

można już łatwo obliczyć łączne przesunięcie łódki.

comments powered by Disqus
Do góry