O algebrze liniowej


studia, algebra liniowa, matematyka,

Przestrzeń wektorowa

Najbardziej elementarną częścią algebry liniowej jest pojęcie przestrzeni wektorowej. Żeby do niego dojść, trzeba najpierw zdefiniować ciało algebraiczne.

Definicja (ciało)

Niech $\mathbb{F}$ będzie niepustym zbiorem i $0,1\in \mathbb{F}$ tak, że $0 \neq 1$ (w naszych rozważaniach zazwyczaj $\mathbb{F} = \mathbb{C}$). Niech $$+,\cdot : \mathbb{F}^2 \to \mathbb{F}$$ będą działaniami dwuargumentowymi. Mówimy, że $(\mathbb{F}, 0, 1, +, \cdot)$ jest ciałem, jeżeli:

(ciałem nazywa się pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny).

Definicja (przestrzeń wektorowa)

Niech $(V, +)$ będzie grupą abelową (przemienną), $\mathbb{F}$ będzie ciałem oraz $$\cdot : \mathbb{F} \times V \to V.$$ Mówimy, że $(V, +, \cdot)$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{F}$ jeżeli $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{F}$ i $u, w \in V$ zachodzi:

Elementy $V$ nazywami wektorami, a elementy $\mathbb{F}$ skalarami.

Dodawanie wektorów

Niech $(\lambda_1, \dots, \lambda_n), (\mu_1,\dots,\mu_n) \in \mathbb{F}^n$. Wtedy mamy $$(\lambda_1,\dots,\lambda_n) + (\mu_1,\dots,\mu_n) = (\lambda_1 + \mu_1,\dots,\lambda_n + \mu_n) \in \mathbb{F}^n$$

Notacja Diraca

W mechanice kwantowej, a w szczególnośći w obliczeniach kwantowych wykorzystuje się notację Diraca. Bazuje ona na przedstawianiu stanów kwantowych $\psi$ jako wektory ket $$|\psi\rangle$$ oraz wektorów sprzężonych bra $$\langle\psi| = (|\psi\rangle)^*.$$

Przestrzeń Hilberta

Wektory te żyją w przestrzeni Hilberta, która jest przestrzenią unitarną i zupełną. Oznacza to, że

Iloczyn skalarny w przestrzeni Hilberta

Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie $\langle \cdot | \cdot \rangle : V^2 \to \mathbb{C}$, które spełnia zależności:

  1. Symetria: $$\langle \phi | \psi \rangle = \langle \psi | \phi\rangle^*.$$
  2. Biliniowość: $$\langle \phi | a \psi + b \psi' \rangle = a \langle \phi | \psi \rangle + b \langle \phi | \psi' \rangle.$$
  3. Dodatnio określoność: $$\langle \psi | \psi \rangle \ge 0.$$

W przestrzeni Hilberta $\mathcal{H} = \mathbb{C}^n$ definiuje się go jako $$((y_1,\dots, y_n), (z_1, \dots, z_n)) \equiv \sum_i y_i^* z_i.$$

Norma

Norma wektora stanu jest zdefiniowana jako $$\Vert \psi \Vert \equiv \sqrt{\langle \psi | \psi \rangle}.$$

Nierówność Cauchy-Schwartz

$$|\langle \psi | \phi\rangle| \le \Vert \psi \Vert \Vert \phi \Vert.$$

Macierze i operatory liniowe

Iloczyn tensorowy (iloczyn Kroneckera)

Niech $A \in \mathbb{M}_{n\times m}[\mathbb{C}]$ oraz $B \in \mathbb{M}_{p\times q}[\mathbb{C}]$ będą macierzami. Ich iloczyn tensorowy $A \otimes B \in \mathbb{M}_{pm \times qn}[\mathbb{C}]$ jest macierzą blokową postaci

$$(A \otimes B)_{ij} = [a_{ij} B].$$

Iloczyn zewnętrzny (outer product)

Dla iloczynu wektorów typu

$$|\psi\rangle\langle \phi| = \begin{bmatrix}p^1\cr \vdots \cr p^n\end{bmatrix} [q_1,\dots q_m]^* = \begin{bmatrix}p^1q_1^* & \dots & p^1q_m^*\cr \vdots & \ddots & \vdots \cr p^nq_1^* & \dots & p^nq_m^*\end{bmatrix}\in \mathbb{M}_{m\times n}[\mathbb{C}].$$

Sprzężenie Hermitowskie

Sprzężenie hermitowskie macierzy $A^\dagger = (A^T)^*$ wygląda tak

$$\begin{bmatrix} a&b \cr c & d\end{bmatrix}^\dagger = \begin{bmatrix} a^* & c^* \cr b^* & d^*\end{bmatrix}$$

Macierze Pauliego

$$\sigma_0 \equiv \mathbb{I} \equiv \begin{bmatrix}1&0\cr 0&1\end{bmatrix}$$ $$\sigma_1 \equiv \mathbb{X} \equiv \begin{bmatrix}0&1\cr 1&0\end{bmatrix}$$ $$\sigma_2 \equiv \mathbb{Y} \equiv \begin{bmatrix}0&-i\cr i&0\end{bmatrix}$$ $$\sigma_3 \equiv \mathbb{Z} \equiv \begin{bmatrix}1&0\cr 0&-1\end{bmatrix}$$

Generowanie bazy ortonormalnej (Gram-Schmidt)

Niech $|w_i\rangle$ - wektory bazowe z przestrzeni wektorowej $V$ z iloczynem skalarnym, $\dim V = d$. Zdefiniujmy pierwszy wektor nowej bazy ortonormalnej przez $$|v_1\rangle \equiv \frac{|w_1\rangle}{\Vert |w_1\rangle\Vert},$$

następne dla $1 \le k \le d-1$ definiujemy rekurencyjnie

$$|v_{k+1}\rangle \equiv \frac{|w_{k+1}\rangle - \sum_{i=1}^k \langle v_i | w_{k+1}\rangle | v_i \rangle}{\Vert|w_{k+1}\rangle - \sum_{i=1}^k \langle v_i | w_{k+1}\rangle | v_i \rangle\Vert}$$

Rozkład własny

Wektory własne operatora $A$ to takie wektory ($|\psi\rangle$), które spełniają $$A |\psi\rangle = \lambda |\psi\rangle,$$ gdzie $\lambda\in\mathbb{C}$ - wartość własna. Zbiór wszystkich wartości własnych $$\Lambda \equiv \{ \lambda_1,\dots,\lambda_n \}$$ nazywamy widmem macierzy $A$. Wektory własne są ortonormalne, co oznacza, że tworzą bazę ortonormalną $$|\Psi\rangle \equiv \{ |\psi_1\rangle, \dots, |\psi_1\rangle\}.$$

Wartości własne macierzy są rozwiązaniami równania wielomianowego $$\mathbb{C}_{\dim(A)}[\lambda]\ni \det(A - \lambda \mathbb{I}) = 0$$

Reprezentacją własną operatora liniowego $A$ nazywamy $$A = \sum_i \lambda_i |i\rangle\langle i|,$$ gdzie $\lambda_i$ - wartości własne oraz $|i\rangle$ - wektory własne. Reprezentacja własna jest równoważna reprezentacji w kombinacji operatorów rzutowych na podprzestrzeń własną operatora.

Operator rzutowy

Niech $W$ będzie $k$-wymiarową podprzestrzenią wektorową $d$-wymiarowej przestrzeni $V$. Korzystając z ortogonalizacji Grama-Schmidta można utworzyć ortonormalną bazę $|1\rangle,\dots,|d\rangle$ nad $V$ w taki sposób, że $|1\rangle,\dots,|k\rangle$ jest ortonormalną bazą nad $W$. Projektorem z przestrzeni $V$ na podprzestrzeń $W$ nazywamy wtedy operator $$P \equiv \sum_{i = 1}^k |i\rangle\langle i |.$$

Operator normalny

Operatorem normalnym nazywamy operator liniowy i ograniczony $\mathcal{N}: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$, który komutuje ze swoim sprzężeniem, czyli spełnia warunek $$\mathcal{N}\mathcal{N}^* = \mathcal{N}^*\mathcal{N}.$$

Operatorami normalnym są na przykład operatory:

Twierdzenie spektralne

Dowolny operator normalny $\mathcal{N}$ określony na przestrzeni wektorowej $V$ jest diagonalny w pewnej ortonormalnej bazie na $V$. Zachodzi również implikacja w drugą stronę, każdy diagonalizowalny operator jest operatorem normalnym.

Oznacza to, że każdy operator normalny można zapisać w reprezentacji własnej.

Superoperatory liniowe

Istnieje wiele ważnych odwzorowań, które przekształcają operatory liniowe i macierze. Wychodząc z definicji funkcji $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, można łatwo rozszerzyć jej definicję na macierze normalne (w tym podzbiór macierzy hermitowskich) następującą konstrukcją:

Niech $A = \sum_a a |a\rangle \langle a|$ będzie rozkładem spektralnym operatora normalnego $A$. Zdefiniujmy następnie $$f(A) \equiv \sum_a f(a) |a\rangle\langle a|.$$ W ten sposób można łatwo zdefiniować na przykład eksponens macierzy $$\exp(\theta \mathbb{Z}) = \begin{bmatrix}e^\theta &0\cr 0 & e^{-\theta}\end{bmatrix},$$ ponieważ $\mathbb{Z}$ ma widmo $\Lambda = \{|0\rangle, |1\rangle\}$.

Ślad

Ślad macierzy jest definiowany jako suma jej elementów diagonalnych: $$\mathrm{tr}(A) \equiv \sum_i A_{ii}.$$ Naturalnie, jest on zależny od bazy oraz cykliczny, czyli zachodzi $$\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA).$$ Ślad jest również liniowy, czyli $$\mathrm{tr}(A + zB) = \mathrm{tr}(A) + z \,\mathrm{tr}(B).$$ Z cykliczności wynika niezmienniczość pod wpływem transformacji unitarnych: $$\mathrm{tr}(UAU^\dagger) = \mathrm{tr}(U^\dagger U A) = \mathrm{tr}(A).$$

Dla pewnego wektora $|\psi\rangle$ należącego do bazy ortonormalnej $|i\rangle$ zachodzi $$\mathrm{tr}(A|\psi\rangle\langle\psi|) = \sum_i \langle i|A|\psi\rangle\langle\psi |i\rangle = \langle \psi|A|\psi\rangle.$$

Reguły komutacji macierzy Pauliego

Niech $\varepsilon$ - tensor zupełnie antysymetryczny. Wtedy $$[\sigma_j,\sigma_k] = 2 i \sum_{l = 1}^3 \varepsilon_{jkl} \sigma_l.$$

Rozkład według wartości osobliwych (singular value decomposition)

Niech $A\in \mathbb{M}_{n\times n}[\mathbb{C}]$ będzie kwadratową macierzą. Wtedy istnieją macierze unitarne $U$ oraz $V$, które wraz z dodatniookreśloną macierzą diagonalną $D$ spełniają zależność $$A = U D V.$$

comments powered by Disqus
Do góry